数学物理方法非标小测#

题目选择#

选择所给第一个题目（找一个非作业定积分题目，并使用数学分析以及复变函数方法求解），其描述如下：

计算如下定积分:

\int_0^{2\pi}e^{\sin{nx}}\{\sin[x-\cos(nx)]\}\mathrm{d}x,n\in \mathbb{Z} \notag

要求分别使用数学分析和复变函数的方法求解，但本人并未学习过数学分析，所以此处理解为使用“微积分”的方法。

本题的微积分方法是比较繁琐的。记原积分为 $I$ ，被积函数为 $f(x)=e^{\sin{nx}}g(x)$

首先根据正弦函数的和差角公式将被积函数展开：

g(x)=\sin{[x-\cos{(nx)}]}=\sin{x}\cos{\cos{nx}}-\cos{x}\sin{\cos{nx}}\notag

则原积分可以表示为：

I=\int_0^{2\pi}\sin{(x)}e^{\sin{nx}}\cos\cos{nx}-\cos{(x)}e^{\sin{nx}}\sin{\cos{nx}}\,\mathrm{d}x\notag

借助以下两个级数：

\begin{align} \sum_{k=0}^\infty\frac{\sin{(k(nx-\frac{\pi}{2}))}}{k!}&=-e^{\sin{nx}}\sin{\cos{nx}}\notag \\ \sum_{k=0}^\infty\frac{\cos{(k(nx-\frac{\pi}{2}))}}{k!}&=\;\;\,e^{\sin{nx}}\cos{\cos{nx}}\notag \end{align}

级数可化为：

I=\int_0^{2\pi}\sin{(x)}\sum_{k=0}^\infty\frac{\cos{(k(nx-\frac{\pi}{2}))}}{k!} + \cos{(x)}\sum_{k=0}^\infty\frac{\sin{(k(nx-\frac{\pi}{2}))}}{k!}\,\mathrm{d}x\notag

函数项级数在 $[0,2\pi]$ 上一致收敛，且一般项都连续，所以积分和求和可以交换顺序：

I=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int_0^{2\pi}\sin{(x)}\cos{(k(nx-\frac{\pi}{2}))}\,\mathrm{d}x + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \int_0^{2\pi}\cos{(x)}\sin{(k(nx-\frac{\pi}{2}))}\,\mathrm{d}x\notag

此时容易求解出积分：

\begin{align} I=&\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int_0^{2\pi}\frac{kn}{k^2n^2-1}\{\cos(\frac{\pi k}{2})-\cos[\frac{\pi k(1-4n)}{2}]\}\notag +\\ &\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int_0^{2\pi}\frac{1}{k^2n^2-1}\{-\cos(\frac{\pi k}{2})+\cos[\frac{\pi k(1-4n)}{2}]\}\notag \end{align}

此时不容易发现什么特殊性，我们使用三角函数和差角公式展开：

\begin{align} I=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!(k^2n^2-1)}\{\sin(\frac{\pi k}{2})\sin(2k\pi n)+\cos(\frac{k\pi}{2})\cos(2\pi kn)-\cos(\frac{\pi k}{2})\}\notag +\\ &\sum_{k=0}^{\infty}\frac{kn}{k!(k^2n^2-1)}\{-\sin(\frac{\pi k}{2})\sin(2k\pi n)+\cos(\frac{k\pi}{2})[-\cos(2\pi kn)]+\cos(\frac{\pi k}{2})\}\notag \end{align}

当 $n\neq \pm1$ 时，分母不为 $0$ ，三角函数的因子为0，故：

I=0\;,\;\;when \;\; n \neq \pm1\notag

接下来讨论 $n=1$ 和 $n=-1$ 的情况，此时依然利用前面的级数，但需要单独把前两项写出来：

$n=1$ ：
$\begin{align} -e^{\sin x}\sin{\cos{x}}&=\frac{\sin[0(x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\sin[1(x-\frac{\pi}2)]}{1!} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\sin[k(x-\frac{\pi}{2})]}{k!}\notag \\ e^{\sin x}\cos{\cos{x}}&=\frac{\cos[0(x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\cos[1(x-\frac{\pi}2)]}{1!} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\cos[k(x-\frac{\pi}{2})]}{k!}\notag \end{align}$
带入 $I=\int_0^{2\pi}\sin{(x)}e^{\sin{nx}}\cos\cos{nx}-\cos{(x)}e^{\sin{nx}}\sin{\cos{nx}}\,\mathrm{d}x$ 中，并由前文推导知含级数项为零：
$I=\int_0^{2\pi}\cos x(\frac{\sin[0(x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\sin[1(x-\frac{\pi}2)]}{1!}) + \sin x(\frac{\cos[0(x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\cos[1(x-\frac{\pi}2)]}{1!}\mathrm{d}x )=0\notag$
$n=-1$ ：
$\begin{align} -e^{\sin (-x)}\sin{\cos{(-x)}}&=\frac{\sin[0(-x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\sin[1(-x-\frac{\pi}2)]}{1!} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\sin[k(-x-\frac{\pi}{2})]}{k!}\notag \\ e^{\sin (-x)}\cos{\cos{(-x)}}&=\frac{\cos[0(-x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\cos[1(-x-\frac{\pi}2)]}{1!} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\cos[k(-x-\frac{\pi}{2})]}{k!}\notag \end{align}$
带入 $I=\int_0^{2\pi}\sin{(x)}e^{\sin{nx}}\cos\cos{nx}-\cos{(x)}e^{\sin{nx}}\sin{\cos{nx}}\,\mathrm{d}x$ 中，并由前文推导知含级数项为零：
$I=\int_0^{2\pi}\cos x(\frac{\sin[0(-x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\sin[1(-x-\frac{\pi}2)]}{1!}) + \sin x(\frac{\cos[0(-x-\frac{\pi}{2})]}{0!}+\frac{\cos[1(-x-\frac{\pi}2)]}{1!})\mathrm{d}x =-2\pi\notag$

综上所述：

\int_0^{2\pi}e^{\sin{nx}}\{\sin[x-\cos(nx)]\}\mathrm{d}x= \begin{cases} \begin{align} -2\pi\;\;\,,&\;n=-1\notag \\ 0\;\;,&\;n=\mathbb{Z}\,\text{且}\,n\neq-1\notag \end{align} \end{cases}

在本学期的课程中，类似的问题只介绍了有理三角函数的积分，即：

\int_\alpha^{\alpha+2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\mathrm{d}\theta\notag

其中 $R(\cos\theta\sin\theta)$ 为 $\sin\theta,\cos\theta$ 的有理函数，且在 $-\infty<\theta<+\infty$ 上连续

本题的函数显然不是有理三角函数，而是较为复杂的函数，但我们也可以仿照课程方法进行求解。

为求解原积分 $I_1$ ，我们首先求解积分 $I_2$ ，再利用 $I_1,I_2$ 关系求解 $I_1$ ：(这是受到PPT“Ch6-留数及其应用”中例2解法二的启发)

I_2=\int_0^{2\pi}e^{-ie^{inx}}e^{ix}\mathrm{d}x,n\in \mathbb{Z}\notag \\ I_1=\mathrm{Im}[I_2]\notag

令 $z=e^{ix}$ ，则 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}z/iz$ ，积分转换为：

I_2=\oint_{|z|=1}e^{-iz^n} z \frac{\mathrm{d}z}{iz}=\oint_{|z|=1}-ie^{-iz^n}\mathrm{d}z,n\in\mathbb{Z}\notag

对于这个积分，我们可以使用留数定理进行求解。并且注意到随着 $n$ 的取值不同，被积复变函数的解析性不同，所以以下根据 $n$ 的取值范围来讨论：(以下范围省略整数的描述)

此时的被积函数为解析函数，由Cauchy积分定理:

I_2=0\notag \\ \therefore I_1=\mathrm{Im}[I_2]=0\notag

综上所述：

\int_0^{2\pi}e^{\sin{nx}}\{\sin[x-\cos(nx)]\}\mathrm{d}x= \begin{cases} \begin{align} -2\pi\;\;\,,&\;n=-1\notag \\ 0\;\;,&\;n=\mathbb{Z}\,且\,n\neq-1\notag \end{align} \end{cases}