分析二次项得到相关系数和方差#

​ 简单分析指数中各项系数, 不难发现, 各二次项($x^2,y^2,xy$)的系数均只与方差和相关系数有关, 而不含均值.所以我们可以只关注各二次项及其系数.

所以后面别问一次项去哪儿啦！我们不管一次项！本部分只关心二次项！

均值的确定#

​ 本文最麻烦的地方应该就在于确定均值. 虽然我们已经确定了相关系数和方差, 但回过头又去凑标准形式的话未免有些不够优雅(主要是稍显复杂), 所以本文介绍一种较为简单的方法用于确定均值.

​ 并且需要注意的是, 这种方法不依赖于提前确定相关系数和方差. 只要指数项中各项的系数完全确定即可(就是说没有哪一项的系数是一个待定未知数需要求解的)

• 依然先说结论:

  • 若二元状态分布的指数可以写作如下形式:

    $$-b^2W(x,y),\;b\in \mathbb{R},\,b\neq0 \\\text{其\,中\,}W(x,y)=(c_1x^2+c_2x+c_3xy+c_4y^2+c_5y+c_6). \;c_1,\,c_4>0\tag{6}$$

  • 则均值 $(\mu_1,\mu_2)$ 就是如下二元一次方程组的解 $(x,y)$:

    $$\color{red}\begin{cases} \frac{\partial W}{\partial x}=0 \\\\ \frac{\partial W}{\partial y}=0 \end{cases}\quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} x=\mu_1=EX \\ y=\mu_2=EY \end{cases}$$

• 证明:

  • 为方便, 我们记 $u=x-\mu_1,\,v=y-\mu_2$, 于是式(1)可以写作: $$-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(\frac{1}{\sigma_1^2}u^2+\frac{-2\rho}{\sigma_1\sigma_2}uv+\frac{1}{\sigma_2^2}v^2) \triangleq -\frac{1}{2(1-\rho^2)}W(u,v)\tag7$$

  • 以 $u$ 为准进行配方:

    $$\begin{align} W(u,v) & = \frac{1}{\sigma_1^2}u^2+\frac{-2\rho}{\sigma_1\sigma_2}uv+\frac{1}{\sigma_2^2}v^2 \notag \\& =(\frac{1}{\sigma_1^2}u^2+\frac{-2\rho}{\sigma_1\sigma_2}uv+ \color{blue}{ \frac{\rho^2}{\sigma_2^2}v^2} \color{black} )+ ( \color{blue}{-\frac{\rho^2}{\sigma_2^2}v^2} \color{black} +\frac{1}{\sigma_2^2}v^2) \notag \\ & = (\frac{1}{\sigma_1}u-\frac{\rho}{\sigma_2}v)^2+\frac{1-\rho^2}{\sigma_2^2}v^2 \tag{8} \end{align}$$

  • 对于式(8), 由于 $1-\rho^2\geq 0\;(|\rho|\leq 1)$, 所以, 当且仅当 $u=v=0$ 时, $W(u,v)$ 取得最小值 0

    $$W(u,v)_{min}=W(0,0)\\\\ W(u,v)\geq0,\;when\;uv\neq0$$

• $u=v=0$, 也即 $x=\mu_1,\,y=\mu_2$

  • 式(6)与证明中使用的式子(1)形式上基本一致, 差别在 $-b^2$ 与 $-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(\text{或}-c^2)$ 可能有一定(正)倍数关系
  • 证明思想是一致的, 即证明二元函数的唯一极值是0. 读者可以仿照该写法, 按照自己喜欢的形式证明.

至此我们已经完成了所有参数的确定.

求解相关系数与方差#

• 这个部分关心指数上的二次项:

  • 省略一次项与常数项保留二次项如下:

    $$-\frac{1}{2}(x^2-2xy+2y^2)$$

    • 则 $A=1,\,B=-2,\,C=2$ (这里的 $-\frac{1}{2}$ 对应前文的 $-b^2$ 而不是 $-c^2$ )

    • 于是相关系数为:

      $$\rho=-\frac{1}{2}\frac{B}{\sqrt{AC}}=-\frac{1}{2}\frac{-2}{\sqrt{1\times 2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

  • 相关系数已经求出, 我们将指数部分化为标准形式:(由前文分析, 这里可以忽略交叉项)

    $$-\frac{1}{2[1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2]}[\frac{1}{(\sqrt{2})^2}x^2+\frac{1}{1^2}y^2]$$
    • 对比标准式, 易得: $$\sigma_1=\sqrt 2\quad \sigma_2=1\\ \therefore DX=\sigma_1^2=2\quad DY=\sigma_2^2=1$$

求解均值#

• 指数项如下:

• 构建求极值的偏导方程组：

  $$\begin{cases} \frac{\partial W}{\partial x}=0 \\\\ \frac{\partial W}{\partial y}=0 \end{cases}\quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} 2x-2y-6=0 \\ 0-2x+4y+8=0 \end{cases}$$

  • 读者可以使用一般解法、行列式解法，或者任何自己喜欢的方法求解这个二元一次方程组.

  • 解之得：

    $$x=2,\quad y=-1\\ \therefore \mu_1=2\quad \mu_2=-1\;\;$$

• 综上所述:

  $$(X,Y)\sim N(2,-1;2,1;\frac{\sqrt 2}{2})$$